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柱の座屈荷重の計算（オイラーの式・細長比・許容荷重）
長さ・両端の支え方・断面・縦弾性係数から、真直な柱の座屈荷重（オイラーの式）と細長比を求めます。安全率を入れると許容荷重を、圧縮荷重を入れると座屈荷重との比を出し、両方を入れると判定します。
入力
結果
入力すると、ここに結果が出ます。
参考
- Design of Machine Elements ME-3320 Lecture 08-09「Axial compression – columns」・ウースター工科大学（WPI）機械工学科 ME-3320 の講義資料・p.7–12（オイラーの座屈荷重 Pcr = π²EI/l²、有効長さと細長比 Sr = leff/k、降伏応力の半分の細長比 (Sr)D = π√(2E/Syc) でオイラーとジョンソンを分ける手順）・資料を開く
- エジェクタピンの座屈に対する強度計算演習・ミスミ・技術情報。問題と解答例（φ2・全長 100 mm・SKH51 のエジェクタピン）・資料を開く
- Ball Screw 技術解説（515-1E、英語）「Buckling Load on the Screw Shaft」・THK・B15-38 式 (5) と η1・η2 の表・資料を開く
- Selection Criteria – Example Ball Screw Selections（515-1E、英語）・THK・B15-72・B15-73 の座屈荷重の選定例・資料を開く
参考先は MechOwl が独自に選んだもので、参考先が推奨・保証するものではありません。
解説
細長い柱を軸の向きに押すと、材料が降伏する前に横に曲がって急に耐えられなくなります（座屈）。長い柱の座屈荷重はオイラーの式 P_cr = π²EI/(K·L)² で、材料の強さではなく縦弾性係数と断面二次モーメント（曲がりにくさ）と長さで決まります。長さが 2 倍になると座屈荷重は 1/4 になります。K は両端の支え方で決まる係数で、両端固定は 0.5、片方が自由だと 2 です。細長比 λ = K·L/r（r：断面二次半径）が小さい柱はオイラーの式が使えません。
使い方
両端の支え方・長さ・縦弾性係数・降伏応力・断面を入れます。安全率を入れると許容荷重が、圧縮荷重を入れると座屈荷重との比が出ます。安全率と圧縮荷重の両方を入れると判定します。細長比が限界の細長比より小さいと「適用範囲外」になります。
例題（手計算）
例題 1：エジェクタピン φ2・全長 100 mm・両端固定・E 21,000 kgf/mm²（座屈荷重）
A = π × 2²/4 = 3.1416 mm²、I = π × 2⁴/64 = 0.7854 mm⁴、r = √(I/A) = 0.5 mm。K = 0.5、K·L = 50 mm、λ = 50/0.5 = 100。λ_c = π√(2 × 205,940/1,000) = 63.76 ≦ 100 なので長い柱。P_cr = π² × 21,000 × 0.7854 / 50² = 65.11 kgf（638.54 N）。圧縮荷重 12.6 kgf との比 = 65.11/12.6 = 5.168。安全率が未入力なので「必要性能のみ算出」。
例題 2：丸棒 φ17.5・1,100 mm・両端固定・E 206 GPa・安全率 2（許容荷重）
I = π × 17.5⁴/64 = 4,603.9 mm⁴、r = 17.5/4 = 4.375 mm、K·L = 0.5 × 1,100 = 550 mm、λ = 550/4.375 = 125.71（λ_c = π√(2 × 206,000/500) = 90.18 より大きい）。P_cr = π² × 206,000 × 4,603.9 / 550² = 30,943 N。許容荷重 = 30,943 / 2 = 15,472 N。
例題 3：長方形 40 × 20・1,500 mm・両端回転・安全率 3・10 kN（不足）
弱い向きの I = 40 × 20³/12 = 26,667 mm⁴、A = 800 mm²、r = 5.7735 mm、λ = 1,500/5.7735 = 259.81（λ_c = π√(2 × 205,000/245) = 128.52 より大きい）。P_cr = π² × 205,000 × 26,667 / 1,500² = 23,979 N。許容荷重 = 23,979/3 = 7,993.2 N ＜ 10,000 N なので「入力条件内で不足」。
例題 4：丸パイプ φ60 × φ50・2,000 mm・一端固定・他端自由・安全率 3・5 kN
I = π(60⁴ − 50⁴)/64 = 329,376 mm⁴、A = π(60² − 50²)/4 = 863.94 mm²、r = 19.526 mm。K = 2、K·L = 4,000 mm、λ = 204.86（λ_c = 128.52 より大きい）。P_cr = π² × 205,000 × 329,376 / 4,000² = 41,651 N。許容荷重 = 13,884 N ≧ 5,000 N なので「入力条件内で条件を満たす」。
例題 5：A 2,000 mm²・I 4 × 10⁶ mm⁴・10 m・一端固定・他端回転（座屈荷重）
K = π/4.493409 = 0.69916（tan x = x の最小の根）、K·L = 6,991.6 mm、r = √(4 × 10⁶/2,000) = 44.721 mm、λ = 156.34（λ_c = π√(2 × 205,000/235) = 131.22 より大きい）。P_cr = π² × 205,000 × 4 × 10⁶ / 6,991.6² = 165,564 N（= 2.0457 × π²EI/L²）。
例題 6：丸棒 φ20・1,000 mm・両端回転・安全率 2・荷重が許容荷重ちょうど
I = π × 20⁴/64 = 7,853.98 mm⁴、r = 5 mm、λ = 1,000/5 = 200（λ_c = 128.83）。P_cr = π² × 206,000 × 7,853.98 / 1,000² = 15,968 N、許容荷重 = 7,984.1 N。荷重がちょうど許容荷重なので「入力条件内で条件を満たす」。
例題 7：丸棒 φ20・200 mm・両端回転（短い柱：適用範囲外）
r = 5 mm、λ = 200/5 = 40 ＜ λ_c = π√(2 × 206,000/245) = 128.83。オイラーの座屈応力 π² × 206,000/40² = 1,270.7 N/mm² は降伏応力 245 N/mm² を大きく超え、オイラーの式は使えない（短い柱は圧縮の降伏で決まる）ので「適用範囲外」（結果は出さない）。
例題 8：安全率 0.8（1 より小さい：適用範囲外）
安全率 0.8 は数として成り立つが、許容荷重が座屈荷重を超える（1 より小さい安全率は、このページの範囲の外）ので「適用範囲外」。
よくある間違い
- 支え方を実際より固く選ぶ：取付けのボルト 1 本や薄い板の固定は、固定端になりません。迷うときはゆるい方を選びます。
- 長方形の強い向きの断面二次モーメントを使う：座屈は弱い向きに起きます。
- 短い柱にオイラーの式を使う：座屈荷重を大きく（危険の側に）見積もります。
- 安全率を入れずに座屈荷重と荷重を比べる：初めの曲がりや荷重の偏りで、座屈荷重より小さい荷重で曲がります。
よくある質問
- 中間の長さの柱（ジョンソンの式・ランキンの式）は。
- このページは扱いません（適用範囲外）。材料力学の書物・社内基準の式で確かめてください。
- ボールねじの座屈は。
- ボールねじの許容軸方向荷重の計算を使ってください（メーカーの係数と安全係数を含む）。
適用範囲
真直で一様な断面の長い柱（細長比が限界の細長比以上）の、オイラーの式による座屈荷重と許容荷重（理想の両端の支え方 4 通り）。
この計算で扱わないこと：
- 中間・短い柱（ジョンソンの式・ランキンの式・テトマイヤーの式などの非弾性の座屈、圧縮の降伏）
- 偏心した荷重・初めの曲がり・横荷重（曲げと圧縮の組合せ）・断面が途中で変わる柱
- ねじれ座屈・局部座屈（薄肉の断面）・設計の推奨の K の値