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はりのたわみと曲げ応力の計算
片持ちはり・両端支持はりに集中荷重または等分布荷重が掛かるときの、最大のたわみと最大の曲げ応力を求めます。許容のたわみ・応力から、掛けてよい荷重や丸棒の太さの候補も出します。
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結果
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参考
- Mechanics of Materials（MIT 3.11、1999）「Beam Displacements」（D. Roylance）・MIT OpenCourseWare・p.3（中央に集中荷重の単純支持ばりの最大たわみ PL³/48EI）、p.9 Figure 6（片持ち・単純支持のはりの集中・分布荷重のたわみの式）・資料を開く
- はりのたわみ（機械工学と自動機設計-17）・ミスミ・技術情報。はりのたわみ係数（β）・資料を開く
- はりの断面二次モーメント（機械工学と自動機設計-18）・ミスミ・技術情報。「例題」と解答（片持ちばり・自由端に集中荷重）・資料を開く
- 曲げ応力のケーススタディ・ミスミ・技術情報。「問題」と「解答例」（ピンの根本の最大曲げ応力）・資料を開く
- 金型部品の断面二次モーメント・ミスミ・技術情報。表1・資料を開く
- 縦弾性係数・ミスミ・技術情報。表1・資料を開く
- 標準材料寸法表（一般鉄鋼材料）・ミスミ・技術データ。S45C-D（ミガキ）丸棒・資料を開く
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解説
はりのたわみは、荷重・長さ・材料の縦弾性係数 E・断面二次モーメント I で決まります。集中荷重ではたわみが長さの 3 乗、等分布荷重では 4 乗に比例するため、長さを少し伸ばすだけでたわみは大きく増えます。曲げ応力は最大の曲げモーメント M を断面係数 Z で割った値で、材料の強さと比べます。
使い方
支え方と荷重の掛かり方を選び、荷重・長さ・縦弾性係数・断面を入れます。許容するたわみと曲げ応力を入れると判定と余裕を表示します。「掛けてよい荷重」は許容値から荷重を逆に求め、「丸棒の直径の候補」は必要な直径と、ミガキ丸棒の標準寸法（参考値）の候補を出します。
例題（手計算）
例題 1：片持ち・先端 1000 N・長さ 500 mm・鋼 206 GPa・長方形 20×40
I = 20 × 40³ / 12 = 106,667 mm⁴、Z = 20 × 40² / 6 = 5,333 mm³。δ = P·L³ / (3EI) = 1000 × 500³ / (3 × 206,000 × 106,667) = 1.896 mm。M = P·L = 500 N·m、σ = M / Z = 500,000 / 5,333 = 93.75 MPa。
例題 2：両端支持・等分布 2 N/mm・長さ 1000 mm・鋼 206 GPa・丸棒 φ30
I = π × 30⁴ / 64 = 39,761 mm⁴、Z = π × 30³ / 32 = 2,651 mm³。δ = 5wL⁴ / (384EI) = 5 × 2 × 1000⁴ / (384 × 206,000 × 39,761) = 3.179 mm。M = wL² / 8 = 2 × 1000² / 8 = 250,000 N·mm、σ = 250,000 / 2,651 = 94.31 MPa。
例題 3：最初の例題の片持ちはりで、たわみ 1 mm・応力 100 MPa まで掛けてよい荷重
たわみから P = 3EI·δa / L³ = 3 × 206,000 × 106,667 × 1 / 500³ = 527.4 N。応力から P = σa·Z / L = 100 × 5,333 / 500 = 1,066.7 N。小さい方の 527.4 N（たわみで決まる）。
例題 4：両端支持・中央 2000 N・長さ 800 mm・たわみ 0.5 mm・応力 120 MPa の丸棒
たわみから I ≥ P·L³ / (48E·δa) = 2000 × 800³ / (48 × 206,000 × 0.5) = 207,120 mm⁴ → d ≥ (64I/π)^(1/4) = 45.32 mm。応力から Z ≥ (P·L/4) / σa = 3,333 mm³ → d ≥ (32Z/π)^(1/3) = 32.38 mm。必要な直径 45.32 mm。ミガキ丸棒の標準寸法では φ45 は不足、φ46 で足りる（たわみの余裕 (46/45.32)⁴ = 1.06）。
例題 5：最初の片持ちはりで、許容する曲げ応力がちょうど 93.75 MPa
σ = 93.75 MPa が許容 93.75 MPa とちょうど同じ。上限ちょうどは含むので「入力条件内で条件を満たす」。余裕は 1.00。
例題 6：片持ち・等分布 1 N/mm・長さ 500 mm・鋼 206 GPa・長方形 20×40・許容するたわみ 0.3 mm（不足）
δ = wL⁴ / (8EI) = 1 × 500⁴ / (8 × 206,000 × 106,667) = 0.3555 mm。M = wL² / 2 = 1 × 500² / 2 = 125,000 N·mm、σ = 125,000 / 5,333 = 23.44 MPa。たわみ 0.3555 mm が許容 0.3 mm を超えるので「入力条件内で不足」。
例題 7：片持ち・先端 1000 N・長さ 500 mm・長方形 5×5（たわみが長さの 1/10 を超える）
I = 5 × 5³ / 12 = 52.08 mm⁴。δ = 1000 × 500³ / (3 × 206,000 × 52.08) = 3,883 mm で、長さ 500 mm の 1/10（50 mm）を超える。小さいたわみの式の前提の外なので、許容値があっても判定せず「適用範囲外」。
例題 8：片持ち・長さ 2000 mm・長方形 5×5・許容する曲げ応力 100 MPa だけで掛けてよい荷重（たわみが長さの 1/10 を超える）
Z = 5 × 5² / 6 = 20.83 mm³、応力から P = 100 × 20.83 / 2000 = 1.042 N。I = 52.08 mm⁴、このときのたわみ = 1.042 × 2000³ / (3 × 206,000 × 52.08) = 258.9 mm で、長さの 1/10（200 mm）を超えるので「適用範囲外」。
例題 9：はりの長さ 0 mm（適用範囲の外）
はりの長さは 0 より大きい値だけを受け付ける。0 は範囲の外なので計算せず、入力エラーとする。
よくある間違い
- 幅と高さを逆に入れる：長方形断面のたわみは高さ h の 3 乗に反比例します。荷重の向きの寸法が h です。
- 等分布荷重に全体の荷重を入れる：長さあたりの荷重（N/mm など）を入れます。全体の荷重 ÷ 長さです。
- 支えを理想と思い込む：実際の取付けのゆるみ・ベースの変形で、計算よりたわみが大きくなります。
よくある質問
- 形鋼やパイプは計算できますか。
- 「I と Z を直接入れる」を選び、規格表やメーカーの資料の断面二次モーメントと断面係数を入れてください。
- 荷重の位置が中央・先端でないときは。
- 今は中央（両端支持）と先端（片持ち）だけです。ほかの位置は計算していません。
適用範囲
一様な断面の真直なはり（片持ち・両端支持、集中・等分布荷重）の最大たわみと最大曲げ応力。
この計算で扱わないこと：
- ほかの荷重の位置・複数の荷重・連続はり・両端固定
- 短く背の高いはり（せん断のたわみ・せん断応力が効くもの）・主軸が傾いた断面（山形鋼など）
- 座屈・ねじり・疲れ・局部の応力集中
- 大きなたわみ・塑性