軸のねじりの計算（ねじり応力・ねじれ角・必要な軸径）

解説

丸軸にトルク T がかかると、断面にねじり（せん断）応力が生じ、表面で最大の τ = T / Zp になります。Zp は極断面係数で、中実軸は π·d³/16、中空軸は π·(d⁴ − d_i⁴)/(16·d) です。軸は長さ L の間で θ = T·L / (G·Ip) だけねじれます（Ip は断面二次極モーメント、中実軸は π·d⁴/32）。強さは τ を許容ねじり応力と、こわさは 1 m あたりのねじれ角を許容値と比べます。

使い方

軸の断面とトルクを入れます。軸径が決まっているときは外径（中空は内径も）を入れ、許容ねじり応力・1 m あたりの許容ねじれ角を入れると判定します。軸径を決めるときは、許容ねじり応力か許容ねじれ角（または両方）を入れると、大きい方の必要な外径が出ます。ねじれ角には横弾性係数 G が要ります。

例題（手計算）

1. 例題 1：中実軸：トルク 197,525.3 N·mm・許容ねじり応力 49 N/mm²（必要な軸径）

   Zp = T / τa = 197,525.3 / 49 = 4,031.13 mm³。d = ∛(16 × 197,525.3 / (π × 49)) = ∛20,530.4 = 27.382 mm 以上（中実の丸軸）。外部の照合の相手（THK のボールスプラインの例）は必要な Zp を 4,031 mm³ としている（その後はスプライン軸の表で 40 mm を選ぶので、丸軸の径とは比べない）。

   この値を入れる

2. 例題 2：中実軸 φ40・500 N·m・1 m・G 7.9×10⁴ N/mm²（許容 60 N/mm²・0.25°/m）

   Zp = π × 40³ / 16 = 12,566.4 mm³、Ip = π × 40⁴ / 32 = 251,327 mm⁴。τ = 500,000 / 12,566.4 = 39.789 N/mm² ≤ 60。θ = 500,000 × 1,000 / (79,000 × 251,327) = 0.025183 rad = 1.4429°（1 m あたり 1.4429°）＞ 0.25° → 「入力条件内で不足」（ねじれ角）。

   この値を入れる

3. 例題 3：中空軸 φ50 / φ40・1,000 N·m・500 mm（許容 80 N/mm²）

   Ip = π × (50⁴ − 40⁴) / 32 = π × 3,690,000 / 32 = 362,265 mm⁴、Zp = Ip / 25 = 14,490.6 mm³。τ = 1,000,000 / 14,490.6 = 69.010 N/mm² ≤ 80 → 「入力条件内で条件を満たす」。θ = 1,000,000 × 500 / (79,000 × 362,265) = 0.017471 rad = 1.0010°（1 m あたり 2.0020°。許容ねじれ角は未入力なので判定しない）。

   この値を入れる

4. 例題 4：中実軸 φ20：応力が許容ねじり応力 50 N/mm² ちょうど

   Zp = π × 20³ / 16 = 1,570.80 mm³。T = 50 × 1,570.80 = 78,539.8 N·mm（78.540 N·m）を入れると τ = 50 N/mm² で許容とちょうど同じ → 「入力条件内で条件を満たす」。

   この値を入れる

5. 例題 5：中空軸 n = 0.5・100 N·m・許容 40 N/mm² と 0.25°/m（必要な軸径、ねじれ角で決まる）

   1 − n⁴ = 0.9375。応力から d = ∛(16 × 100,000 / (π × 40 × 0.9375)) = ∛13,581 = 23.859 mm。ねじれ角から θa = 0.25° / 1,000 mm = 4.3633×10⁻⁶ rad/mm、d = ⁴√(32 × 100,000 / (π × 79,000 × 4.3633×10⁻⁶ × 0.9375)) = ⁴√3,151,987 = 42.135 mm。大きい方の 42.135 mm（内径 21.068 mm）以上。必要な Zp = 2,500 mm³、Ip = 100,000 / (79,000 × 4.3633×10⁻⁶) = 290,105 mm⁴。

   この値を入れる

6. 例題 6：長さ 10 mm が外径 40 mm より短い（長さ全体のねじれ角は出さない）

   Ip = π × 40⁴ / 32 = 251,327 mm⁴、Zp = 12,566.4 mm³。τ = 500,000 / 12,566.4 = 39.7887 N/mm²。1 m あたりのねじれ角 = 500 / (7.9×10¹⁰ × 2.51327×10⁻⁷) = 0.025183 rad/m。L = 10 mm ＜ d = 40 mm なので、長さ全体のねじれ角は出さず注意を出す（端の近くは応力の分布が式と違う：サン・ブナンの原理）。許容値が未入力なので「必要性能のみ算出」（AI の見直しの第1回の指摘で、適用範囲外から注意に変えた）。

   この値を入れる

7. 例題 7：中空軸の内径 40 mm が外径 40 mm 以上（入力エラー）

   内径 40 mm ≥ 外径 40 mm で、軸として成り立たない。入力エラーで判定は付けない。

   この値を入れる

よくある間違い

• 極断面係数 Zp（π·d³/16）の代わりに、曲げの断面係数 Z（π·d³/32）を使う：Z は Zp の半分なので、ねじり応力が 2 倍に出ます。
• ねじれ角をラジアンのまま度と比べる：1 rad ≒ 57.3°。
• キー溝のある軸で外径をそのまま入れる：キー溝の底の径を使い、応力集中は別に見込みます。
• 動力と回転数からトルクを出すときに単位を取り違える：T = P / ω（ω = 2π·n / 60）。

よくある質問

動力と回転数からトルクを出すには。

「必要な動力（トルクと回転数）」の計算を使ってください。T = P / ω で、ω = 2π × 回転数 / 60 です。

許容ねじれ角の目安は。

用途で変わります。例として THK の資料は、ボールスプラインの軸のこわさを 1 m あたり 1/4° ぐらいに制限するとしています。このページは自動では入れません。

曲げもかかる軸は。

「軸の強度（曲げとねじりの組合せ）」の計算で、相当曲げモーメント・相当ねじりモーメントから求めます。

適用範囲

中実・中空の丸軸の、トルクによる表面のねじり応力・ねじれ角と、許容ねじり応力・1 m あたりの許容ねじれ角からの必要な外径（弾性の範囲、断面が一様）。

この計算で扱わないこと：

• 曲げとねじりの組合せ（「軸の強度（曲げとねじりの組合せ）」の計算）
• キー溝・段の応力集中、疲れの強さ、ねじり振動・危険速度
• 丸くない断面（角軸・スプライン軸の表の値）、直径より短い長さのねじれ角

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• 軸の強度（曲げとねじりの組合せ）
• 必要な動力（トルクと回転数）
• 断面の性質