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軸の強度の計算（曲げとねじりの組合せ、相当曲げモーメント・相当ねじりモーメント）
曲げモーメント M とトルク T を同時に受ける中実の丸軸について、相当曲げモーメント Me = (M + √(M² + T²))/2 と相当ねじりモーメント Te = √(M² + T²) から応力と必要な軸径を求めます（静荷重）。許容曲げ応力は最大せん断応力説の相当応力 √(σ_b² + 4τ_t²) と比べます（安全側）。
入力
結果
入力すると、ここに結果が出ます。
参考
- Design of Machine Elements（IIT Kharagpur） Module 8 Lesson 1「Shaft and its design based on strength」・NPTEL（インド工科大学などの公開講義）・p.7 式 (8.1.6)–(8.1.7)（最大せん断応力説で、曲げモーメント M とトルク T を受ける軸の τ = 16/(πd³)·√(M² + T²)）・資料を開く
最大せん断応力説（相当ねじりモーメントの形）の部分だけで、相当曲げモーメントの式は載っていません。 - ボールスプライン 選定のポイント「スプライン軸強度の検討」・THK・相当曲げモーメント・相当ねじりモーメントの式・資料を開く
- Ball Spline 技術解説（515-1E、英語）・THK・B3-14・B3-15 の式、B3-26 の計算例 1（M 196,000 N·mm、T 24,500 N·mm）・資料を開く
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解説
軸に曲げモーメント M とトルク T が同時にかかると、表面には曲げの垂直応力とねじりのせん断応力が重なります。これを 1 つのモーメントに置き換えたのが、最大主応力説による相当曲げモーメント Me = (M + √(M² + T²))/2 と、最大せん断応力説による相当ねじりモーメント Te = √(M² + T²) です。中実の丸軸では σ = Me/Z（Z = π·d³/32）、τ = Te/Zp（Zp = π·d³/16）です。出典の資料は両方から軸径を出して大きい方をとりますが、このページは安全側に、許容曲げ応力を最大せん断応力説の相当応力 σ_eq = √(σ_b² + 4τ_t²)（中実の丸軸では 32·Te/(π·d³)）と比べ、許容ねじり応力は τ = Te/Zp と比べます。Me からの値は参考として出します。
使い方
荷重の種類（静荷重）、曲げモーメント、トルクを入れます。軸径が決まっているときは軸径を入れ、許容曲げ応力・許容ねじり応力を入れると判定します。軸径を決めるときは、許容曲げ応力か許容ねじり応力（または両方）を入れると、大きい方の必要な軸径が出ます。
例題（手計算）
例題 1：M 196,000 N·mm・T 24,500 N·mm・許容 98 / 49 N/mm²（必要な軸径）
√(196,000² + 24,500²) = 197,525.3 N·mm = Te。Me = (196,000 + 197,525.3) / 2 = 196,762.7 N·mm。Z = 196,762.7 / 98 = 2,007.78 mm³ → d = ∛(32 × 196,762.7 / (π × 98)) = 27.347 mm。Zp = 197,525.3 / 49 = 4,031.13 mm³ → d = ∛(16 × 197,525.3 / (π × 49)) = 27.382 mm。このページの判定に使う許容曲げ応力からの軸径は相当応力から d = ∛(32 × 197,525.3 / (π × 98)) = 27.382 mm（σ_a = 2τ_a なので相当ねじりモーメントからと同じ）。必要な軸径は 27.382 mm 以上（Me からの 27.347 mm は参考）。外部の照合の相手（THK のボールスプラインの例）の Me・Te・Zp と一致。
例題 2：φ40・M 300 N·m・T 400 N·m（許容 100 / 60 N/mm²）
Te = √(300² + 400²) = 500 N·m、Me = (300 + 500) / 2 = 400 N·m。Z = π × 40³ / 32 = 6,283.19 mm³、Zp = 12,566.4 mm³。σ_b = 300,000 / 6,283.19 = 47.746、τ_t = 400,000 / 12,566.4 = 31.831、相当応力 √(47.746² + 4 × 31.831²) = 79.577 N/mm²（= 32 × 500,000 / (π × 40³)）≤ 100、τ = 500,000 / 12,566.4 = 39.789 N/mm² ≤ 60 → 「入力条件内で条件を満たす」。Me からの σ = 400,000 / 6,283.19 = 63.662 N/mm² は参考。
例題 3：φ40・M 1,000 N·m・T 500 N·m（許容曲げ 100 N/mm²）
Te = √(1,000² + 500²) = 1,118.03 N·m、Me = (1,000 + 1,118.03) / 2 = 1,059.02 N·m。相当応力 = 32 × 1,118,034 / (π × 40³) = 177.94 N/mm² ＞ 100 → 「入力条件内で不足」（Me からの σ = 1,059,017 / 6,283.19 = 168.55 N/mm² は参考）。τ = 1,118,034 / 12,566.4 = 88.970 N/mm²（許容ねじり応力は未入力なので判定しない）。
例題 4：ねじりだけ（M = 0）・φ30：せん断応力が許容 40 N/mm² ちょうど
M = 0 のとき Te = T、Me = T / 2。Zp = π × 30³ / 16 = 5,301.44 mm³、T = 40 × 5,301.44 = 212,057.5 N·mm で τ = 40 N/mm² ちょうど → 「入力条件内で条件を満たす」。σ = (T/2) / (Zp/2) = T / Zp = 40 N/mm²（純粋なねじりの最大主応力はせん断応力と同じ大きさ）。相当応力は √(0 + 4 × 40²) = 80 N/mm²（許容曲げ応力は未入力なので判定しない）。
例題 5：φ40・M 300 N·m・T 400 N·m・許容曲げ 70 N/mm² だけ（相当応力で不足）
入力はこのページの例（所有者の決定 2026-11-14 の確かめ）。許容曲げ応力だけを入れた。Me からの σ = 63.662 N/mm² は 70 以下だが、判定に使う相当応力 √(47.746² + 4 × 31.831²) = 79.577 N/mm² ＞ 70 → 「入力条件内で不足」（安全側）。
例題 6：繰返し・衝撃の荷重（適用範囲外）
繰返し・衝撃の荷重では、曲げとねじりの動的効果の係数をかけた相当モーメントを使うが、出典の資料に係数の値がないので、このページの式の範囲の外 → 「適用範囲外」（結果は出さない）。
例題 7：曲げモーメントもトルクも 0（入力エラー）
M = T = 0 では軸に何もかからず、必要な軸径が 0 になり計算として成り立たない。入力エラーで判定は付けない。
よくある間違い
- 曲げとねじりを別々に計算して、それぞれの軸径で足りるとする：同時にかかるときは相当モーメントで計算します。
- Me と Z（π·d³/32）、Te と Zp（π·d³/16）の組を取り違える。
- 曲げモーメントとトルクを、違う断面の値で組み合わせる：同じ断面の値を使います（いちばん厳しい断面を探します）。
- キー溝の部分で外径をそのまま使う：応力集中は入っていません。
よくある質問
- どちらの説を使えばよいですか。
- 出典の資料は、両方から軸径を出して大きい方をとるとしています。このページは安全側に、許容曲げ応力を最大せん断応力説の相当応力 √(σ_b² + 4τ_t²) と比べます（Me からの値は参考）。相当応力は Me からの応力より小さくならないので、出典のやり方より軸径が小さく出ることはありません。許容曲げ応力が許容ねじり応力の 2 倍のときは、2 つの結果は同じです。
- 衝撃や繰り返しの荷重は。
- このページは静荷重だけです。動的効果の係数や疲れの強さは、設計の資料・規格で確かめてください。
- トルクだけの軸は。
- 「軸のねじり」の計算で、ねじれ角も含めて求められます。
適用範囲
静荷重で、同じ断面に曲げモーメントとトルクを受ける中実の丸軸の、相当曲げモーメント・相当ねじりモーメント・応力と、許容応力からの必要な軸径。
この計算で扱わないこと：
- 繰返し・衝撃の荷重（動的効果の係数）・疲れの強さ
- 中空軸、キー溝・段の応力集中、軸方向の力
- ねじれ角・たわみ・危険速度