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圧縮コイルばねの計算（ばね定数・荷重・たわみ・せん断応力）
線径・コイル平均径・有効巻数・横弾性係数から、圧縮コイルばねのばね定数 k = G·d⁴/(8·Na·D³) を求め、たわみから荷重を、荷重からたわみを出します。応力修正係数を掛けたせん断応力を許容せん断応力と比べ、必要なばね荷重とも比べます。
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結果
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参考
- Design of Machine Elements（IIT Kharagpur） Module 7 Lesson 1「Introduction to Design of Helical Springs」・NPTEL（インド工科大学などの公開講義）・p.8 式 (7.1.5)–(7.1.6)（τmax = Kw·8FD/(πd³)、ワールの係数 Kw = (4C − 1)/(4C − 4) + 0.615/C）、p.9（たわみ δ = 8FD³N/(Gd⁴)）、p.11 の計算例・資料を開く
- Design of Machine Elements ME-3320 Lecture 29「Springs」・ウースター工科大学（WPI）機械工学科 ME-3320 の講義資料・p.9（ばね指数 C = D/d、たわみ y = 8FD³Na/(d⁴G)、ばね定数 k = d⁴G/(8D³Na)）・資料を開く
- ばねの計算・ミスミ・技術データ・資料を開く
- ばね設計の計算式（ばねの設計-11）・ミスミ・技術情報・資料を開く
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解説
圧縮コイルばねを縮めると、線はねじられます。ばね定数（1 mm 縮めるのに要る力）は k = G·d⁴/(8·Na·D³) で、線径 d の 4 乗に比例し、コイル平均径 D の 3 乗と有効巻数 Na に反比例します。荷重 P のとき、線のせん断応力は τ₀ = 8·D·P/(π·d³) ですが、コイルの内側では応力が大きくなるので、応力修正係数 κ を掛けた τ = κ·τ₀ で見ます。κ はばね指数 c = D/d が小さいほど大きくなります（c = 3 で 1.58、c = 8 で 1.18）。
使い方
求めたいものを選び、線径・コイル平均径・有効巻数・横弾性係数と、たわみか荷重を入れます。許容せん断応力を入れると応力を、たわみから荷重を求めるときは必要なばね荷重を入れると荷重を比べて判定します。
例題（手計算）
例題 1：たわみから荷重：d 2 mm・D 16 mm・Na 8・G 78,500 N/mm²・δ 10 mm・許容 500 N/mm²
入力は例として選んだ値（出典の計算例ではない）。G はピアノ線などの出典の代表値。k = 78,500 × 2⁴ / (8 × 8 × 16³) = 1,256,000 / 262,144 = 4.7913 N/mm。P = 4.7913 × 10 = 47.913 N。c = 16/2 = 8、κ = 31/28 + 0.615/8 = 1.10714 + 0.07688 = 1.18402。τ₀ = 8 × 16 × 47.913 / (π × 2³) = 244.02 N/mm²、τ = 1.18402 × 244.02 = 288.92 N/mm² ≤ 500 なので条件を満たす。
例題 2：荷重からたわみ：d 1 mm・D 8 mm・Na 10・G 68,500 N/mm²・P 10 N・許容 200 N/mm²（不足）
入力は例として選んだ値。G はばね用ステンレス鋼線（SUS304 など）の出典の代表値。k = 68,500 × 1⁴ / (8 × 10 × 8³) = 68,500 / 40,960 = 1.67236 N/mm。δ = 10 / 1.67236 = 5.9796 mm。τ₀ = 8 × 8 × 10 / (π × 1³) = 203.72 N/mm²、τ = 1.18402 × 203.72 = 241.21 N/mm² ＞ 200 なので不足（修正前の 203.72 も 200 を超える）。
例題 3：境界：ばね指数 3（d 3 mm・D 9 mm）・有効巻数 3・δ 1 mm（比べる相手なし）
入力は例として選んだ値。ばね指数 c = 9/3 = 3 と有効巻数 3 は範囲の端で、範囲に入る。k = 78,500 × 3⁴ / (8 × 3 × 9³) = 6,358,500 / 17,496 = 363.43 N/mm、P = 363.43 N。κ = 11/8 + 0.615/3 = 1.375 + 0.205 = 1.580（出典の図の c = 3 の値とも合う）。τ₀ = 8 × 9 × 363.43 / (π × 27) = 308.49 N/mm²、τ = 487.41 N/mm²。許容値も必要な荷重もないので必要性能のみ算出。c = 3 は 4〜15 の外なので注意が出る。
例題 4：必要な荷重に足りない：d 1.6 mm・D 12 mm・Na 6・δ 8 mm・必要 60 N
入力は例として選んだ値。k = 78,500 × 1.6⁴ / (8 × 6 × 12³) = 514,457.6 / 82,944 = 6.2025 N/mm、P = 6.2025 × 8 = 49.620 N ＜ 必要 60 N なので不足。応力は c = 7.5、κ = 29/26 + 0.615/7.5 = 1.19738、τ₀ = 370.18 N/mm²、τ = 443.25 N/mm² ≤ 500 で応力は満たすが、荷重が足りないので判定は不足。
例題 5：ばね指数 2.5（d 4 mm・D 10 mm：適用範囲外）
c = 10/4 = 2.5 は、ばねとしては成り立つが、出典の応力修正係数の図とばね指数の望ましい範囲（3〜22）の外なので「適用範囲外」。
例題 6：ばね指数 25（d 1 mm・D 25 mm：適用範囲外）
c = 25/1 = 25 ＞ 22 で「適用範囲外」。
例題 7：有効巻数 2.5（適用範囲外）
有効巻数 2.5 ＜ 3。出典は 3 未満では特性が不安定になるとしているので「適用範囲外」。
例題 8：コイル平均径 5 mm ≦ 線径 5 mm（入力エラー）
コイル平均径が線径以下だと、内径（D − d）が 0 以下になり、コイルとして成り立たない。入力エラー（判定の語は出さない）。
よくある間違い
- コイルの外径をそのまま D に入れる：D は平均径（外径 − 線径）です。外径を入れるとばね定数は小さく出ます（荷重から求めるたわみ・応力は大きく出ます）。
- 総巻数をそのまま有効巻数にする：両端の座巻は働かないので引きます（例：座巻が両端 1 巻ずつなら 総巻数 − 2）。総巻数を入れると、ばね定数は小さく出ます。
- 横弾性係数 G の代わりに縦弾性係数（ヤング率）を入れる：縦弾性係数は G よりずっと大きい値なので、ばね定数が大きく出すぎます。
- 修正前の応力 τ₀ だけで判断する：コイルの内側の応力は κ 倍（c = 8 でおよそ 1.18 倍）大きくなります。
よくある質問
- 引張コイルばねにも使えますか。
- ばね定数の式は同じですが、引張ばねには初張力があり、荷重は 初張力 + k·δ になります。このページは圧縮ばねだけです。
- ばね指数の目安は。
- 出典は、熱間で成形するばねは 4〜15、冷間で成形するばねは 3〜22 が望ましいとしています。このページは 3〜22 の外を「適用範囲外」とし、4〜15 の外では注意を出します。
- 許容せん断応力はいくつにすればよいですか。
- 材料・線径・使い方（静的か繰返しか）で変わります。ばねの材料の規格・メーカーの資料で決めた値を入れてください。このページは値を入れません。
適用範囲
丸い線の円筒形・等ピッチの圧縮コイルばね（ばね指数 3〜22、有効巻数 3 以上）の、弾性の範囲のばね定数・荷重・たわみ・せん断応力。
この計算で扱わないこと：
- 引張コイルばね（初張力）・ねじりコイルばね・円錐ばね・不等ピッチばね・角線のばね
- 密着長さ・自由長さ・座屈・サージング（固有振動数）
- 疲れの強さ・へたり（永久変形）
- 許容せん断応力の値（材料と使い方で利用者が決める）